درسنامه آموزشی فصل دوم آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی

1- اگر A و B دو پیشامد ناتهی و ناسازگار از فضای نمونه‌ای S باشند، آیا A و B می‌توانند مستقل باشند؟ برای پاسخ خود دلیل ارائه کنید.

اگر A و B هر دو ناتهی باشند آنگاه $P\left( A \right)\ne 0$ و $P\left( B \right)\ne 0$ خواهد بود لذا $P\left( A \right)\times P\left( B \right)\ne 0$
و اگر A و B ناسازگار باشند آنگاه $A\bigcap B=\varnothing $ خواهد بود لذا $P\left( A\bigcap B \right)=0$
و در نتیجه $P\left( A\bigcap B \right)\ne P\left( A \right)\times P\left( B \right)$ پس A و B نمی‌توانند مستقل باشند.

2- اگر A و B دو پیشامد مستقل و $E\subseteq A$ و $F\subseteq B$ دو زیرمجموعه ناتهی باشند، آیا E و F نیز همیشه مستقل‌اند؟ چرا؟

خیر، زیرا اگر E و F اشتراک نداشته باشد (به شکل زیر توجه کنید) یا اصطلاحاً ناسازگار باشند، $E\bigcap F=\varnothing $ خواهد بود و در نتیجه $P\left( E\bigcap F \right)=0$ در حالی‌که خود E و F  تهی نیستند و $P\left( E \right)\times P\left( F \right)\ne 0$ می‌باشد پس $P\left( E\bigcap F \right)\ne P\left( E \right)\times P\left( F \right)\ne 0$ و  در نتیجه E و F مستقل از هم نیستند.

اگر A و B دو پیشامد مستقل باشند، نشان دهید که پیشامدهای زیر نیز مستقل‌اند.
الف) ${A}'$ و $B$

$\Rightarrow P\left( A\bigcap B \right)=P\left( A \right)\times P\left( B \right)$ اگر A و B مستقل باشند 
$\begin{align}
  & P\left( {A}'\bigcap B \right)=P\left( B\bigcap {A}' \right)=P\left( B-A \right)=P\left( B \right)-P\left( A\bigcap B \right) \\ 
 & =P\left( B \right)-P\left( A \right)\times P\left( B \right)=P\left( B \right)\times \left[ 1-P\left( A \right) \right]=P\left( B \right)\times P\left( {{A}'} \right) \\ 
 & P\left( {A}'\bigcap B \right)=P\left( {{A}'} \right)\times P\left( B \right) \\ 
\end{align}$

ب) ${A}'$ و ${B}'$

$\begin{align}
  & P\left( {A}'\bigcap {B}' \right)=P\left( {{\left( A\bigcup B \right)}^{\prime }} \right)=1-P\left( A\bigcup B \right)=1-P\left( A \right)-P\left( B \right)+P\left( A\bigcap B \right) \\ 
 & =1-P\left( A \right)-P\left( B \right)+P\left( A \right)\times P\left( B \right) \\ 
 & =\left( 1-P\left( A \right) \right)-P\left( B \right)\times \left( 1-P\left( A \right) \right) \\ 
 & =\left( 1-P\left( A \right) \right)\times \left( 1-P\left( B \right) \right)=P\left( {{A}'} \right)\times P\left( {{B}'} \right) \\ 
 & \Rightarrow P\left( {A}'\bigcap {B}' \right)=P\left( {{A}'} \right)\times P\left( B \right) \\ 
 \end{align}$ 

4- در پرتاب دو تاس به‌طور پی‌درپی، اگر A پیشامد متوالی بودن اعداد ظاهر شده و B پیشامد ظاهر شدن عدد 3 در تاس اول باشد، مستقل بودن A و B را بررسی کنید.

A پیشامد متوالی بودن اعداد ظاهر شده

$A=\left\{ \left( 1,2 \right),\left( 2,1 \right),\left( 2,3 \right),\left( 3,2 \right),\left( 3,2 \right),\left( 3,4 \right),\left( 4,3 \right),\left( 4,5 \right),\left( 5,4 \right),\left( 5,6 \right),\left( 6,5 \right) \right\}$
$\Rightarrow \left. \begin{matrix}
   n\left( A \right)=10  \\
   n\left( S \right)=36  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$

B پیشامد ظاهر شدن عدد 3 در تاس اول

$B=\left\{ \left( 3,1 \right),\left( 3,2 \right),\left( 3,3 \right),\left( 3,4 \right),\left( 3,5 \right),\left( 3,6 \right) \right\}$
$\Rightarrow \left. \begin{matrix}
   n\left( B \right)=6  \\
   n\left( S \right)=36  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

$A\bigcap B$ تاس اول 3 باید و اعداد ظاهر شده متوالی (پشت سر هم باشد) $\Leftarrow $ تاس دوم 4 یا 2 بیاید.

$A\bigcap B=\left\{ \left( 3,2 \right),\left( 3,4 \right) \right\}\Rightarrow \left. \begin{matrix}
   n\left( A\bigcap B \right)=2  \\
   n\left( S \right)=36  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow P\left( A\bigcap B \right)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

با وجود مقادیری که به‌دست آوردیم:

$\left. \begin{align}
  & P\left( A \right)\times P\left( B \right)=\frac{5}{18} \\ 
 & P\left( A\bigcap B \right)=\frac{1}{18} \\ 
\end{align} \right\}\Rightarrow P\left( A \right)\times P\left( B \right)\ne P\left( A\bigcap B \right)$

A و B مستقل نیستند.

5- از مجموعهٔ $\left\{ 1,2,3,...,10 \right\}$ یک عضو انتخاب می‌کنیم. فرض کنید A پیشامد یک عدد زوج و B پیشامد وقوع عددی بخش‌پذیر بر 3 باشد، مستقل بودن A و B را بررسی کنید.

$A=\left\{ 2,4,6,8,10 \right\}\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$
$B=\left\{ 3,6,9 \right\}\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{3}{10}$
$A\bigcap B=\left\{ 6 \right\}\Rightarrow P\left( A\bigcap B \right)=\frac{1}{10}$
$\left. \begin{align}
  & P\left( A \right)\times P\left( B \right)=\frac{1}{2}\times \frac{3}{10}=\frac{3}{20} \\ 
 & P\left( A\bigcap B \right)=\frac{1}{10} \\ 
\end{align} \right\}\Rightarrow P\left( A \right)\times P\left( B \right)\ne P\left( A\bigcap B \right)$

6- احتمال موفقیت عمل پیوند کلیه روی یک بیمار 0/6 و روی بیمار دیگر 0/8 است. اگر این عمل روی این دو نفر انجام شود، مطلوب است احتمال اینکه:

الف) روی هر دو بیمار موفقیت‌آمیز باشد.

پیشامد موفقیت عمل پیوند کلیه روی بیمار اول را A می‌نامیم و برای بیمار دوم را B می‌نامیم.
این دو پیشامد واضح است که مستقل از هم هستند، بنابراین:

$P\left( A\bigcap B \right)=P\left( A \right)\times P\left( B \right)=0/8\times 0/6=0/48$

احتمال اینکه عمل پیوند روی هر دو بیمار موفقیت‌آمیز باشد 0/48 است.

ب) روی هیچ‌کدام موفقیت‌آمیز نباشد.

$\begin{align}
  & P\left( {A}'\bigcap {B}' \right)=P\left( {{\left( A\bigcup B \right)}^{\prime }} \right)=1P\left( A\bigcup B \right)=1-P\left( A\bigcup B \right) \\ 
 & 1-P\left( A \right)-P\left( B \right)+\left( A\bigcap B \right)=1-0/8-0/6+0/48=0/08 \\ 
\end{align}$

پ) فقط روی بیمار دوم موفقیت‌آمیز باشد.

$P\left( B\bigcap {A}' \right)=P\left( B-A \right)=P\left( B-A \right)=P\left( B \right)-P\left( A\bigcap B \right)=0/8-0/48=0/32$

7- یک سکه و دو تاس به طور همزمان پرتاب می‌شوند. احتمال اینکه سکه، رو و هر دو تاس عدد 6 را نشان دهند، چقدر است؟

رو شدن سکه و 6 آمدن تاس‌ها، سه پیشامد مستقل هستند، بنابراین:

8- در یک امتحان پنج گزینه‌ای، 10 سؤال مطرح شده است. اگر یک دانش‌آموز به تمام سؤالات به طور تصادفی پاسخ دهد، احتمال آن‌را به‌دست آورید که:

الف) به تمام سؤال‌ها پاسخ صحیح داده باشد.

چون امتحان پنج گزینه‌ای است احتمال پاسخ دادن به هر سؤال $\frac{1}{5}$ و احتمال پاسخ دادن به هر سؤال $\frac{4}{5}$ است. می‌دانیم پیشامد پاسخ به هر سؤال 
مستقل از سؤالات دیگر است، پس احتمال اینکه به همهٔ سؤالات پاسخ صحیح بدهد، برابر است با:

ب) تنها به پنج سؤال اول پاسخ صحیحی داده باشد.

$P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}}\bigcap {{A}_{4}}\bigcap {{A}_{5}}\bigcap {{{{A}'}}_{6}}\bigcap {{{{A}'}}_{7}}\bigcap {{{{A}'}}_{8}}\bigcap {{{{A}'}}_{9}}\bigcap {{{{A}'}}_{10}} \right)$
$=P\left( {{A}_{1}} \right)\times ...\times P\left( {{A}_{5}} \right)\times P\left( {{{{A}'}}_{6}} \right)\times ...\times P\left( {{{{A}'}}_{10}} \right)$
$=\left( \frac{1}{5}\times \frac{1}{5}\times \frac{1}{5}\times \frac{1}{5}\times \frac{1}{5} \right)\times \left( \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5}\times \frac{4}{5} \right)$
${{\left( \frac{1}{5} \right)}^{5}}\times {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{5}}={{\left( \frac{4}{25} \right)}^{5}}={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{10}}$

پ) به نیمی از سؤال‌ها پاسخ صحیح داده باشد. 
این پیشامد را C می‌نامیم.
ابتدا باید انتخاب کنیم به کدام سؤالات پاسخ صحیح بدهد. تعداد راه‌های انتخاب 5 سؤال از بین 10 سؤال $\left( \begin{matrix}
   10  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)$ است.
برای 5 سؤال انتخابی گزینه صحیح را در نظر می‌گیریم یعنی هر کدام 1 حالت دارند و برای 5 سؤال دیگر گزینه غلط را باید در نظر بگیریم که هر کدام 4 حالت دارند. پس نتیجه می‌گیریم تعداد حالت‌هایی که می‌تواند به نیمی از سؤال‌ها پاسخ صحیح بدهد $\left( \begin{matrix}
   10  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)\times {{1}^{5}}\times {{4}^{5}}$ می‌باشد و تعداد کل حالت‌هایی هم که می‌تواند بدون هیچ شرطی پاسخ دهد ${{5}^{10}}$ است.
پس احتمال آن برابر است با:

$P\left( C \right)=\frac{\left( \begin{matrix}
   10  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)\times {{1}^{5}}\times {{4}^{5}}}{{{5}^{10}}}=\frac{\left( \begin{matrix}
   10  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)\times {{2}^{10}}}{{{5}^{10}}}=\left( \begin{matrix}
   10  \\
   5  \\
\end{matrix} \right)\times {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{10}}$

9- در یک جعبه که شامل 3 مهرهٔ قرمز، 2 مهرهٔ آبی و 1 مهرهٔ زرد است، دو مهره به تصادف و با جای‌گذاری بیرون می‌آوریم. مطلوب است احتمال آنکه: 
الف) هر دو مهره قرمز باشند.

چون با جای‌گذاری انجام می‌شود پس از نوع مستقل است:

$=\frac{3}{6}\times \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ (مهره دوم قرمز) P $\times $ (مهره اول قرمز) P = (هر دو قرمز شوند) P 

ب) حداقل یک مهره آبی باشد.

$=\frac{2}{6}+\frac{2}{6}-\left( \frac{2}{6}\times \frac{2}{6} \right)$ (هر دو مهره آبی) P - (مهره دوم آبی) P + (مهره اول آبی) P = (حداقل یکی آبی شود) P 

حداقل یک مهره آبی شود به‌معنای این است که یا مهرهٔ اول آبی شود یا مهرهٔ دوم آبی شود یا هر دو آبی شوند که همان‌طور که در درس 1 همین فصل گفتیم برای این باید $P\left( A\bigcup B \right)$ را در نظر بگیرید:

$P\left( A\bigcup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( A\bigcap B \right)$

پ) هر دو مهره همرنگ باشند.

$=\frac{3}{6}\times \frac{3}{6}+\frac{2}{6}\times \frac{2}{6}+\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{9}{36}+\frac{4}{36}+\frac{1}{36}=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$ (هر دو زرد) P + (هر دو آبی) P + (هر دو قرمز) P = (هر دو مهره همرنگ شوند) P 

10- جعبه‌ای شامل 12 لامپ است که سه تای آنها معیوب است. اگر به تصادف و بدون جای‌گذاری 3 لامپ از جعبه بیرون آوریم، احتمال آن‌را به‌دست آورید که:

الف) هر سه لامپ معیوب باشند.

${{A}_{1}}$: پیشامد معیوب بودن لامپ اول
${{A}_{2}}$: پیشامد معیوب بودن لامپ دوم
${{A}_{3}}$: پیشامد معیوب بودن لامپ سوم
با توجه به قانون ضرب احتمالات برای سه پیشامد داریم: 

$P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)\times P\left( {{A}_{3}}\left| {{A}_{1}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{3}}\left| \left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}} \right) \right. \right)$

$\leftarrow P\left( {{A}_{1}} \right)$ احتمال معیوب بودن لامپ اول $\frac{3}{12}$ است. $P\left( {{A}_{1}} \right)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\Leftarrow $

$\leftarrow P\left( {{A}_{2}}\left| {{A}_{1}} \right. \right)$ احتمال معیوب بودن لامپ دوم به شرط معیوب بودن لامپ اول $\frac{2}{11}$ است زیرا یک لامپ معیوب خارج شده است و از 11 لامپ باقی‌مانده 2 تای آنها معیوب است $P\left( {{A}_{2}}\left| {{A}_{1}} \right. \right)=\frac{2}{11}\Leftarrow $

$P\left( {{A}_{3}}\left| {{A}_{3}}\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}} \right) \right. \right)$ احتمال معیوب بودن لامپ سوم به شرط معیوب بودن لامپ اول و دوم $\frac{1}{10}$ است زیرا دو لامپ معیوب خارج شده است و از 10 لامپ باقی‌مانده یکی از آنها معیوب است $P\left( {{A}_{3}}\left| \left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}} \right) \right. \right)$ 

با جای‌گذاری این اعداد در رابطه بالا داریم:

$P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{2}{11}\times \frac{1}{10}=\frac{1}{220}$

ب) حداقل یک لامپ معیوب باشد.
بهتر است احتمال این پیشامد را با احتمال متمم حل کنیم:

(هیچ‌کدام معیوب نباشد) $=1-P$ (حداقل یک لامپ معیوب باشد) P 

$=P\left( {{{{A}'}}_{1}}\bigcap {{{{A}'}}_{2}}\bigcap {{{{A}'}}_{3}} \right)=P\left( {{{{A}'}}_{1}} \right)\times P\left( {{{{A}'}}_{2}}\left| {{{{A}'}}_{1}} \right. \right)\times P\left( {{{{A}'}}_{3}}\left| \left( {{{{A}'}}_{1}}\bigcap {{{{A}'}}_{2}} \right) \right. \right)$ (هیچ لامپی معیوب نباشد) P 

مانند قسمت قبل می‌توانیم بگوییم:

$\left. \begin{align}
  & P\left( {{{{A}'}}_{1}} \right)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4} \\ 
 & P\left( {{{{A}'}}_{2}}\left| {{{{A}'}}_{1}} \right. \right)=\frac{8}{11} \\ 
 & P\left( {{{{A}'}}_{3}}\left| \left( {{{{A}'}}_{1}}\bigcap {{{{A}'}}_{2}} \right) \right. \right)=\frac{7}{10} \\ 
\end{align} \right\}\Rightarrow P\left( {{{{A}'}}_{1}}\bigcap {{{{A}'}}_{2}}\bigcap {{{{A}'}}_{3}} \right)=\frac{3}{4}\times \frac{8}{11}\times \frac{7}{10}=\frac{21}{55}$

11- احتمال موفقیت یک داریم ساخته شده، 0/9 است. اگر 10 نفر را انتخاب کنیم، احتمال اینکه داریم ساخته شده، روی همهٔ افراد جواب منفی داشته باشد، چقدر است؟

احتمال موفقیت دارو روی یک نفر 0/9 است پس احتمال شکست آن $1-0/9=0/1$ است.
می‌دانیم نتیجه دارو روی هر فرد مستقل از نتیجه آن روی افراد دیگر است.
احتمال اینکه تأثیر دارو، روی 10 نفر منفی باشد برابر است با:

$\underbrace{\left( 0/1 \right)\times \left( 0/1 \right)\times \left( 0/1 \right)\times ...\times \left( 0/1 \right)}_{10}={{\left( 0/1 \right)}^{10}}={{\left( \frac{1}{10} \right)}^{10}}={{10}^{-10}}$

12- اگر $A$ و $B$ دو پیشامد مستقل باشند به‌طوری‌که $P\left( A\bigcap B \right)=0/1$ و $P\left( A\bigcap {B}' \right)=0/4$، حاصل $P\left( A\bigcap {B}' \right)$ را به‌دست آورید.

$\Rightarrow P\left( A\bigcap B \right)=P\left( A \right)\times P\left( B \right)$ A و B دو پیشامد مستقل
$P\left( A\bigcap {B}' \right)=P\left( A-B \right)=P\left( A \right)-P\left( A\bigcap B \right)\Rightarrow 0/4=P\left( A \right)-0/1\Rightarrow P\left( A \right)=0/5$
$\xrightarrow{A,B}P\left( A\bigcap B \right)=P\left( A \right)\times P\left( B \right)\Rightarrow 0/1=0/5\times P\left( B \right)\Rightarrow P\left( B \right)=\frac{0/1}{0/5}=\frac{1}{5}=0/2$
$\Rightarrow P\left( {{B}'} \right)=1-P\left( B \right)=1-0/2=0/8$
$P\left( A\bigcup {B}' \right)=P\left( A \right)+P\left( {{B}'} \right)-P\left( A\bigcap {B}' \right)$
$=0/5+0/8-0/4=0/9\Rightarrow P\left( A\bigcup {B}' \right)=0/9$